AUSGANGSSITUATION

Mit 3 vollen Saftkrügen können 12 Gläser befüllt werden.

FRAGESTELLUNG

Unsere Frage ist, wie viele Gläser können mit 4 Krügen befüllt werden?

SÄTZE

Den ersten Satz, indem wir notieren, was wir wissen, nennt man Bedingungssatz.

Den Satz, indem wir notieren, was wir wissen wollen, nennen wir Fragesatz.

ZWISCHENFRAGE

Damit wir uns leichter bei der Berechnung tun, stellen wir uns noch eine Zwischenfrage, nämlich, wie viele Gläser mit einem Krug befüllt werden können.

ÜBERSICHT

Mit 3 Krügen können 12 Gläser befüllt werden?

Wie viele Gläser können mit einem Krug befüllt werden?

Wie viele Gläser können mit 4 Krügen befüllt werden?

PROPORTION

Bei der direkt proportionalen Zuordnung haben wir zwei Größen. In unserem Fall sind das die Anzahl der Krüge und die Anzahl der Gläser. Diese beiden Größen ändern sich beide Größen gleichmäßig in die gleiche Richtung.

BERECHNUNG

Um hier von 3 Krügen auf einen hinunter zu rechnen, müssen wir durch 3 dividieren. Und da sich damit die Gläser im selben Verhältnis ändern, müssen wir auch die Gläser durch 3 dividieren. 12 durch 3 ergibt 4 Gläser. Anders gesagt, kann man mit einem Krug 4 Gläser befüllen.

Wollen wir nun von einem Krug auf 4 Krüge hinauf rechnen, müssen wir in einem nächsten Schritt mit 4 multiplizieren. Und da sich auch die Gläser im selben Verhältnis ändern, multiplizieren wir auch diese mit 4. 4 Gläser Mal 4 ergibt 16 Gläser.

BERECHNUNG IM HEFT

Wenn wir das in unser Heft schreiben wollen, zeichnen wir natürlich keine Krüge und Gläser, sondern verwenden Zahlen. Wir schreiben in die erste Zeile den Bedingungssatz mit

3 Krügen … Punkt, Punkt, Punkt … 12 Gläser.

In die zweite Zeile schreiben wir unsere Zwischenfrage mit

1 Krug … Punkt, Punkt, Punkt … x Gläser

Auf der Seite der Krüge notieren wir den ersten Rechenschritt von 3 Krügen auf einen Krug mit dividiert durch 3. Das gleiche notieren wir auf der Seite der Gläser mit einem Pfeil.

BERECHNUNG IM HEFT

In die dritte Zeile schreiben wir unseren Fragesatz,

also das was wir wissen wollen, mit 4 Krüge … Punkt, Punkt, Punkt … x Gläser

Danach rechnen wir mit Mal 4 von einem Krug auf 4 Krüge und machen das gleiche auf der Seite der Gläser.

Rechnen wir das jetzt durch, beginnen wir mit den bekannten 12 Gläsern, dividieren durch 3, erhalten dabei unser Zwischenergebnis von 4 Gläser für einen Krug. Mit den 4 Gläsern rechnen wir dann weiter mit Mal 4 und erhalten die 16 Gläser für 4 Krüge.

UMGEKEHRTE FRAGESTELLUNG

Wir können die Fragestellung auch umdrehen und damit unsere beiden Größen vertauschen.

Wenn wir uns Fragen, wie viele Krüge benötigt werden um 20 Gläser zu befüllen, schreiben wir jetzt in die erste Spalte die Gläser und in die zweite Spalte die Krüge.

UMGEKEHRTE FRAGESTELLUNG - BERECHNUNG

Wir haben die gleiche Einstiegsinformation wie vorhin, nämlich, dass man mit 3 Krügen 12 Gläser befüllen kann. Wir formulieren dies jetzt umgekehrt, indem wir sagen, dass man für das Befüllen von 12 Gläsern 3 Krüge benötigt.

Jetzt wollen wir wissen wie viele Krüge man benötigt, um 20 Gläser zu befüllen. Die Krüge sind damit jetzt unbekannt und werden mit x bezeichnet. Unsere Zwischenfrage heißt nun, wie viele Krüge man benötigt, um ein Glas zu befüllen.

Von 12 auf 1 rechnen wir mit der Division durch 12.
Daraus ergibt sich die Rechnung: 3 Krüge durch 12 ergibt 0,25 und bedeutet, dass man 0,25 Krüge braucht, um ein Glas zu befüllen.

UMGEKEHRTE FRAGESTELLUNG - BERECHNUNG

Mit 0,25 weitergerecht durch die Rechnung Mal 20 kommen wir zu unserem Endergebnis und beantworten unsere Frage mit:
Wir benötigen 5 Krüge um 20 Gläser befüllen zu können.

ZUSAMMENFASSUNG

Fassen wir die wichtigsten Aspekte der direkt proportionalen Zuordnung noch einmal zusammen. Die beiden Größen ändern sich hierbei gleichmäßig in die gleiche Richtung. Umso mehr Krüge man hat, desto mehr Gläser können befüllt werden.

Diese Formulierung, umso mehr, desto mehr zeigt uns die Entwicklung der beiden Größen in die gleiche Richtung.